[BZOJ 4311] 向量

发布于2017年01月22日 | 暂无评论 | 1,769阅读 | 分治

题意简述

维护一个向量集合，支持以下操作：

1. 插入一个向量 $(x,y)$ 。

2. 删除插入的第 $i$ 个向量。

3. 查询当前集合与 $(x,y)$ 点积的最大值是多少。如果当前是空集输出0。

$1 \le n \le 200000, 1 \le x,y \le 10^6$

算法讨论

考虑每一个向量，如果在时间轴上看，存在时间都对应一段区间。

对时间分治，运用线段树的思想把向量定位到 $O(\log n)$ 个结点上，与此同时将询问下传更新答案即可。

时间复杂度 $O(n \log n)$ 。

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cctype>
#include <bitset>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <utility>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define REP(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define PER(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define RVC(i,S) for(int i=0;i<(S).size();i++)
#define RAL(i,u) for(int i=fr[u];i!=-1;i=e[i].next)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
       
template<class T> inline
void read(T& num) {
    bool start=false,neg=false;
    char c;
    num=0;
    while((c=getchar())!=EOF) {
        if(c=='-') start=neg=true;
        else if(c>='0' && c<='9') {
            start=true;
            num=num*10+c-'0';
        } else if(start) break;
    }
    if(neg) num=-num;
}
/*============ Header Template ============*/
 
const int maxn=(int)(5e5)+5;
struct node {
    int x,y;
    node(int a=0,int b=0):x(a),y(b) {}
};
 
inline bool operator < (node a,node b) {
    return a.x!=b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;
}
 
inline node operator + (node a,node b) {
    return node(a.x+b.x,a.y+b.y);
}
 
inline node operator - (node a,node b) {
    return node(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
 
inline LL _dot(node a,node b) {
    return 1LL*a.x*b.x+1LL*a.y*b.y;
}
 
inline LL _cross(node a,node b) {
    return 1LL*a.x*b.y-1LL*a.y*b.x;
}
 
inline LL cross(node a,node b,node c) {
    return _cross(b-a,c-a);
}
 
struct mnode {
    node c;
    int l,r;
};
 
struct qnode {
    int x,y,ps,id;
};
 
LL res[maxn];
node pt[maxn],ch[maxn];
vector<mnode> p[maxn<<2];
vector<qnode> q[maxn<<2];
 
int qt,tot;
 
inline void calcAll() {
    sort(pt+1,pt+tot+1);
    int tmp=0;
    REP(i,1,tot) {
        while(tmp>1 && cross(ch[tmp-1],ch[tmp],pt[i])>=0) tmp--;ch[++tmp]=pt[i];
    } tot=tmp;
}
 
inline LL calc(node a) {
    int l=1,r=tot;LL res=0;
    while(r-l>3) {
        int li=(l+l+r)/3,ri=(l+r+r)/3;
        LL ai=_dot(a,ch[li]),bi=_dot(a,ch[ri]);
        res=max(res,max(ai,bi));
        if(ai<bi) l=li; else r=ri;
    } REP(i,l,r) res=max(res,_dot(a,ch[i]));
    return res;
}
 
void solve(int x,int l,int r) {
    if(q[x].empty()) return;
    int mid=(l+r)>>1;tot=0;
    for(int i=0;i<p[x].size();i++) {
        mnode w=p[x][i];
        if(w.l<=l && r<=w.r) {
            pt[++tot]=w.c;
        } else {
            if(w.l<=mid) p[x<<1].push_back(w);
            if(mid<w.r) p[x<<1|1].push_back(w);
        }
    } p[x].clear();calcAll();
    for(int i=0;i<q[x].size();i++) {
        qnode w=q[x][i];
        res[w.id]=max(res[w.id],calc(node(w.x,w.y)));
        if(w.ps<=mid) q[x<<1].push_back(w);
        else q[x<<1|1].push_back(w);
    } q[x].clear();
    if(l==r) return;
    solve(x<<1,l,mid);solve(x<<1|1,mid+1,r);
}
 
int main() {
    int n;
    read(n);
    REP(i,1,n) {
        int opt;
        read(opt);
        if(opt==1) {
            mnode tmp;
            read(tmp.c.x);read(tmp.c.y);tmp.l=i;tmp.r=n;p[1].push_back(tmp);
        } else if(opt==2) {
            int x;
            read(x);--x;p[1][x].r=i-1;
        } else if(opt==3) {
            ++qt;qnode tmp;
            read(tmp.x);read(tmp.y);tmp.ps=i;tmp.id=qt;q[1].push_back(tmp);
        }
    }
    solve(1,1,n);
    REP(i,1,qt) printf("%lld\n",res[i]);
    return 0;
}

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#include <set>

#include <map>

#include <queue>

#include <ctime>

#include <cmath>

#include <cstdio>

#include <vector>

#include <string>

#include <cctype>

#include <bitset>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <utility>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#define REP(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)

#define PER(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)

#define RVC(i,S) for(int i=0;i<(S).size();i++)

#define RAL(i,u) for(int i=fr[u];i!=-1;i=e[i].next)

using namespace std;

typedef long long LL;

typedef pair<int,int> pii;

template<class T> inline

void read(T& num) {

bool start=false,neg=false;

char c;

num=0;

while((c=getchar())!=EOF) {

if(c=='-') start=neg=true;

else if(c>='0' && c<='9') {

start=true;

num=num*10+c-'0';

} else if(start) break;

}

if(neg) num=-num;

}

/*============ Header Template ============*/

const int maxn=(int)(5e5)+5;

struct node {

int x,y;

node(int a=0,int b=0):x(a),y(b) {}

};

inline bool operator < (node a,node b) {

return a.x!=b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;

}

inline node operator + (node a,node b) {

return node(a.x+b.x,a.y+b.y);

}

inline node operator - (node a,node b) {

return node(a.x-b.x,a.y-b.y);

}

inline LL _dot(node a,node b) {

return 1LL*a.x*b.x+1LL*a.y*b.y;

}

inline LL _cross(node a,node b) {

return 1LL*a.x*b.y-1LL*a.y*b.x;

}

inline LL cross(node a,node b,node c) {

return _cross(b-a,c-a);

}

struct mnode {

node c;

int l,r;

};

struct qnode {

int x,y,ps,id;

};

LL res[maxn];

node pt[maxn],ch[maxn];

vector<mnode> p[maxn<<2];

vector<qnode> q[maxn<<2];

int qt,tot;

inline void calcAll() {

sort(pt+1,pt+tot+1);

int tmp=0;

REP(i,1,tot) {

while(tmp>1 && cross(ch[tmp-1],ch[tmp],pt[i])>=0) tmp--;ch[++tmp]=pt[i];

} tot=tmp;

}

inline LL calc(node a) {

int l=1,r=tot;LL res=0;

while(r-l>3) {

int li=(l+l+r)/3,ri=(l+r+r)/3;

LL ai=_dot(a,ch[li]),bi=_dot(a,ch[ri]);

res=max(res,max(ai,bi));

if(ai<bi) l=li; else r=ri;

} REP(i,l,r) res=max(res,_dot(a,ch[i]));

return res;

}

void solve(int x,int l,int r) {

if(q[x].empty()) return;

int mid=(l+r)>>1;tot=0;

for(int i=0;i<p[x].size();i++) {

mnode w=p[x][i];

if(w.l<=l && r<=w.r) {

pt[++tot]=w.c;

} else {

if(w.l<=mid) p[x<<1].push_back(w);

if(mid<w.r) p[x<<1|1].push_back(w);

}

} p[x].clear();calcAll();

for(int i=0;i<q[x].size();i++) {

qnode w=q[x][i];

res[w.id]=max(res[w.id],calc(node(w.x,w.y)));

if(w.ps<=mid) q[x<<1].push_back(w);

else q[x<<1|1].push_back(w);

} q[x].clear();

if(l==r) return;

solve(x<<1,l,mid);solve(x<<1|1,mid+1,r);

}

int main() {

int n;

read(n);

REP(i,1,n) {

int opt;

read(opt);

if(opt==1) {

mnode tmp;

read(tmp.c.x);read(tmp.c.y);tmp.l=i;tmp.r=n;p[1].push_back(tmp);

} else if(opt==2) {

int x;

read(x);--x;p[1][x].r=i-1;

} else if(opt==3) {

++qt;qnode tmp;

read(tmp.x);read(tmp.y);tmp.ps=i;tmp.id=qt;q[1].push_back(tmp);

}

solve(1,1,n);

REP(i,1,qt) printf("%lld\n",res[i]);

return 0;

}

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